數學における言語（37）希臘数学における無限（ �U ） 河田直樹 數學における言語（38）非ユークリッド幾何と日本ブンガク（�T）

（37）希臘數學における無限（�U）
　２本の平行線l、mに對して右圖のやうに第３の直線nが交はってゐるとき、同位角a,bについてa＝bが成り立つことはよくご存じかと思ひます。

大方の讀者の方は、そんなこと“見れば自明”、矢印のやうに“平行移動”すればlとmをぴったりと重ねることができるから、a=bは明らか、と思はれるかもしれませんが、中學生の私はこの“命題”を「平行線の定義（兩端に無限に延長しても交はらない）」だけに基づいて何とか證明しようと、１ヶ月も考へ續けたことがあります。結局、そのときは諦めることになるのですが私は「平行線を移動すれば重ねることができる論據はどこにあるのか」とか、「“直線”といふ場合の“真っ直ぐさ”とはいったいどう言ふことか」とか、「lがｍに右圖のように近づいても、双曲線とその漸近線のやうにlとｍとが“無限の彼方”で交はるとは限らないのではないか」とか、そんなことをさんざん考へあぐねて、その擧句疲れ果ててしまった經驗があります。

「平行線の公理」は謂はば“無限”を視覺化した世界で、「公理」（『原論』では、“公準”と譯されてゐる）とは、要するに萬人が証明なしで認める共通了解命題、あるいは議論を始めるにあたっての基本的な要請と言ふことができるのですが、後年、前回紹介した『原論』の「第5公理」の文言を知るに及んで、a＝ｂが証明できると分かり、同時にユークリッドがなぜあのやうに表現せざるを得なかったのかも、うすうす納得しました。それにしても、「第５公理」は“公理”ではなく、もっと單純な要請から導き出される“定理”ではないのか、實はこのやうな疑念は古代のユークリッド幾何學の解説者たちの腦裡にも浮かんでゐたことでした。近藤洋逸（1911〜1979）の『新幾何學思想史』（この本の初版は大東亜戰爭末期の昭和19年に三一書房から出された）には、次のやうにあります。
　　プロクロス（Proclos410〜485）の傳へるところによれば、ポセイドニオス（Poseidonios前135〜50）は平行線の定義を改變する。すなはち、平面上の二直線が等距離をたもてば、これらは平行であると呼び、そしてこの定義を用ゐて平行線の公準を「證明」する。こうした企圖は後世何回も繰り返し登場し、またそれに対して鋭い批判が加へられたのである。
　まことに興味のそそられる話ですが、すでに第10回目の「西洋への憧れと誤解」でも述べたやうに、以後二千年近くに亘って、西洋の数學者や思想家たちは、この“無限”と言ふ劇薬の混入していた“平行線の公理”と惡戰苦闘することになります。恐るべき格闘と言ふほかはありませんが、『新幾何學思想史』はこの知的格闘を、「平行線の公理」から説き起こし、先驅者「サッケリ、ランベルト」から「ガウス、ロバチェフスキー、ボヤイ父子」に至るまでの“非ユークリッド幾何”成立の經緯を詳細に論じてゐます。さらに、この名著は「リーマン幾何學成立の背景」や「非ユークリッド幾何學と哲學」の問題にも言及されてゐます。
現在では「三一書房」のものは絶版ですが、『近藤洋逸数學史著作集』（日本評論社）で讀むことができます。ひと言で述べれば、この書は、「現実世界の精緻この上ない正確な写し絵」であると考へられてゐた「幾何學の言葉」が實はさうではなかった、と言ふ驚くべき發見（發明？）物語です。少々大袈裟に言へば、この書で根源的に問はれるのは「言語（数學言語）とは何か」と言ふドラマチックな問いで、これは單に“數學の問題”ではありません。そして、そこにこそ非ユークリッド幾何學成立の真の意味があると私は考へてゐます。興味のある方は是非手にとって頂きたい、おそらくそこに「無限」を通して、劇的なる人間知性のドラマを垣間見ることができるはずです。

（38）非ユークリッド幾何と日本ブンガク（�T）
　非ユークリッド幾何學（non-Euclidean geometry）について、その概要だけを少し説明しておきます。中學で教わる通常のユークリッド幾何學では、「平行線の第５公理」は、

（１）直線l外の１点Aを通り、lに平行な直線がただ1本だけ存在する（圖�T）　
と言ひ直すことができます。しかし、この公理を否定して

（２）直線l外の１点Aを通り、lに平行な直線がまったく存在しないとしても、
（３）直線l外の１点Aを通り、lに平行な直線が無數に存在するとしても、實は論理的な矛盾を見出すことは不可能で、整合的な幾何學體系が得られます。普通、（２）の公理のもとに得られる幾何學を「楕円的非ユークリッド幾何學」、（３）の公理のもとに得られる幾何學を「双曲的非ユークリッド幾何學」と言ひます。なぜこのやうな無矛盾な幾何學が同時並行的に形成されるのかを理解するには、やはりある程度の専門的知識が必要ですが、興味のある方には寺坂英孝氏の『非ユークリッド幾何の世界』（講談社BLUE BACKS）を薦めておきます。非ユークリッド幾何學の背後にある根本的かつ普遍的な問題は、人間の「無限認識」のそれであり、この點さえしっかり見据ゑておけば、數學嫌ひの人にも非ユークリッド幾何が面白く付き合へて頂けると私は考へてゐます。
　ところで、これは「木に縁(よ)りて魚を求むる」の類かもしれまんが、私は、日本の小説家や文學者の文章の中に「非ユークリッド」という言葉を見つけたことはほとんどありません。もちろん、「イナガキタルホ」は例外中の例外ですが、これまで私がこの言葉を發見したのは、わづかに三島由紀夫の『小説とは何か』の十一節の次の文章です。
　　「豊饒の海」を書きながら、私はその終りのはうを、不確定の未來に委ねておいた。この作品の未來はつねに浮遊してゐたし、三巻を書き了へた今でもなほ浮遊してゐる。しかしこのことは、作品世界の時間的未來が、現實世界の時間的未來と、あたかも非ユークリッド数學における平行線のやうに、その端のはうが交叉して融け合つてゐるといふことを意味しない。（ゴチック體：河田）
「交叉して融け合つてゐる」とは、いかにも三島由紀夫らしいレトリックですが、彼は「融け合つてゐることを意味しない」と述べることによって、いったい何を言ひたかったのでせうか。私のやうな數學屋からすれば、「たとへ非ユークリッド幾何であっても、交叉して融け合ふことなどあり得ないのが平行線」であり、これは形容矛盾ではないかと思はれるのですが、要するに彼は、二種の時間は融け合ふことなく、一方が他方を斷罪するほかない、と確信してゐたのでせう。
　三島由紀夫は『文章讀本』で、「日本人は奇妙なことに男性的特質、論理および理知の特質をすべて外來の思想にまつたのであります」と述べ、また「日本語獨特の抽象概念にあたるものは、いつも情緒の霧にまとひつかれ、感情の濕度に濕潤されて、決して抽象概念すら自律性、獨立性、明晰性を持つことはできませんでした」と語ってゐます。そして、「日本の根生（ねおひ）の文學は、抽象概念の欠如からはじまつた」と、日本文學に止めを刺してゐます。もって至言といふほかはありませんが、私などからすればそれこそ「端のはうが交叉して融け合つてゐる」といふ表現は、「情緒の霧にまとひつかれ」た物言ひに思はれます。
　こんにちでもよく「和魂洋才」といふ言葉を耳にしますが、「平行線の公理」を二千年以上に亘って考へ續けるなど、「才」のよくし得るところはありません。むしろ、そこには日本文化がこれまで持ち得なかった「魂」があり、精神の眞髓があります。西洋は單に皮相な「物質文明」だけを追及してきたのではなかったのです。　　　（河田直樹・かはたなほき）

日本語ウォッチング（８） かんぱつをいれず 織田多宇人

「間髪を容れず」をテレビなどでも、「かんぱつをいれず」と言つているのを時々耳にする。正しくは「かん、はつをいれず」だ。髪の毛一筋の合間もないこと、つまり「すぐさま」とか、「すかさず」と言ひたい時に使ふ。此に關聯した「間一髮」と言ふ成句がある。時々「間一發」と誤記されるが、「かんいっぱつ」とは、一筋の髮の毛が入るほどのすきまもないこと、つまり、「非常に切迫してあやふいさま」で、「間一髮のところで敵陣から救出された」のやうに使はれる。

ほとけごころ （その二） 原山建郎

ほとけごころ　（その二）

４．エリザベス・キューブラー・ロス、
「許しのレッスン」がすごい。
エリザベス・キュブラー・ロス（精神科醫）は、ターミナルケア（終末期醫療）、サナトロジー（死の科學）のパイオニアです。その成果をまとめた『死ぬ瞬間』（中公文庫、一九七一年）は世界的なベストセラーになりました。
亡くなる四年前、二〇〇〇年の著作『ライフ･レッスン』（エリザベス・キューブラー・ロス、デーヴィッド・ケスラー共著、上野圭一訳、角川文庫、二〇〇五年）のはじめに、彼女はかう書いてゐます。
【わたしたちひとりひとりのなかにガンジーとヒトラーが住んでゐる。もちろん象徴的な意味でだ。ガンジーは人間のなかにある最良のもの、もっとも慈悲ぶかいものをあらはし、ヒトラーは最惡のもの、人間のなかにある否定性と卑小性をあらはしてゐる。人生のレッスンとは、みづからの卑小性にはたらきかけ、否定性をとりのぞいて、自己のなかにも他者のなかにもある最良のものをみいだす作業にかかはるものだ。人生の暴風にも似たそのレッスンは、わたしたちを本来のわたしたちに立ちかへらせてくれる。わたしたちはたがひに癒しあい、また自己を癒すために地上に生れてきた。それは身體症状の回復といふ意味での癒しではなく、はるかに深いレベルでの癒し、精神の、そしてたましひの癒しである。】
（同書「エリザベスからのメッセージ」九ページ）

『ライフ･レッスン』のなかから、本日のテーマにかかはる「許しのレッスン」を紹介します。
【一九四〇年代の後半、イギリスから獨立する準備をすすめてゐたインドの國内は宗教戰争の嵐が吹き荒れてゐた。内戰でイスラム教徒に息子を殺されたヒンドゥー教徒の男が、マハトマ・ガンジーにかういった。
「どうしたらイスラム教徒を許すことができるでせうか？　ひとり息子を殺されて憎悪に燃えてゐるこのこころに、どうしたら平安がとりもどせるのでせうか？」
ガンジーはその男にいった。「イスラム教徒の戰争孤児を養子にしなさい。そして、自分の息子として育てなさい」
人生をまっとうするためには許すことを學ばなければならない。許しは苦痛や傷を癒す方法であると同時に、ふたたび他者と自己とを結びつける方法である。人はだれでも傷ついたことがある。たとへいはれのない事情によるものであっても、傷つくときは傷つく。そして、わたしたちはほぼ全員、他人を傷つけたことがあるはずだ。問題は傷つけたり傷ついたりすることよりもむしろ、その經驗が忘れられないこと、それを忘れようとしないことのほうにある。傷の痛さはそこにあるのだ。わたしたちは傷をためこみながら生きてゐるが、その傷を手放す方法はだれからも教わってゐない。許しが必要とされる理由はそこにある。
許す人生を選ぶか許さない人生を選ぶかは、その人が決める問題である。だれもがそのいずれかを選択することができる。皮肉にも、傷つけた人より傷ついた人にとって重要な問題であり、傷ついた人が癒されるといふ意味で、許しは自愛的な好意だともいへる。（中略）
許さないといふことは、むかしの傷や怒りにしがみついてゐるといふことである。恨みの感情に榮養を補給して、過去の不幸な部分を生かしつづけることである。許すことができなければ、自分自身の奴隷になるしかない。
許しからは多くのものを得ることができる。許すことによって、自分を傷つけた人に奪はれたと感じてゐた全體性の感覺をとりもどすことができる。ほんたうの自己にもどるための自由を得ることができる。人はだれでも自分自身に、そして他者との關係に、再出發するチャンスをあたへることができる。そのチャンスこそ、許しがもたらす魔法なのだ。相手を、あるいは自分を許しさへすれば、恩寵の世界に立ちかへることができる。折れた骨が治ったときに骨折以前よりつよくなるやうに、許しによって傷が癒えたときは、相手との関係が以前よりつよいものになる。（中略）
許しにはさまざまな障害がある。なかでも大きな障害は、許せば自分を傷つけた行為をみとめることになってしまふのではないかといふ感情である。しかし許しとは、相手に「わたしを傷つけてもいいのよ」といふことではない。許しとは、恨みをいだいてゐると不幸な人生を送ることになると氣づいて、自分自身のために、うけた傷を手放すことである。許せないと思ってゐる人は、自分が罰してゐる對象がほかならぬ自分自身であることをおもひだす必要がある。
許しとは相手を好き放題にさせておくことではない。それはことばの最良の意味での博愛の行爲である。自分を傷つけたときの相手はけっして満足な状態ではなかったのだといふことにおもひいたった瞬間に、許す氣もちが生まれる。相手は過ちを犯したが、それは相手の本來の状態ではなかった。人間である以上、相手も過ちを犯す。そのことで相手も自分とおなじやうに傷ついてゐる。そこに気づいたとき、許しが生まれる。けっきょくのところ、人は自分を癒すために許すのだ。相手の行爲は、ただの行爲でしかない。その行爲を許すのではない。人を許すのだ。
もうひとつ許しの障害となってゐるのは、報復してやりたいといふ欲望である。たとえ報復をとげたとしても、一時的な満足しか得られない。報復といふ低次元な行爲をした自分にたいして、あとで罪悪感をもつことになる。自分を傷つけた人に自分の苦痛をおもひ知らせるためにとった攻撃的な行爲が、けっきょくはまた自分を傷つける。傷のいひ分に耳をかたむけて傷を吟味するのはいいが、傷にしがみついてゐては自己處罰の方向にむかふだけだ。
許すことはむづかしい。傷を無視してしまふ方がまだ樂だといふときもある。何回も許したいとおもひながら、つい先のばしにしてしまふ。傷つけられたみじめさが、どうしても忘れられないのだ。その先のばしに期限がくるのは、こんな氣もちのままで生きてゐたくない、いつまでもわだかまりをひきずっていたくないといふ、自分の本心に氣づくときである。
許せないといふ気もちは人を固着させる。傷をかかえこんだままの状態と馴れあひすぎて、大決心をしなければ許すことができなくなる。人間關係を修復するよりは相手を責めたはうが樂になる。相手の過ちだけをみてゐるあひだは、自分自身の内面を見つめる必要がないからだ。相手を許したとき、はじめて人生に力がよみがへり、傷を乗りこえて花ひらくことができるやうになる。傷をかかへたまま生きることはたえず犠牲者の立場にとどまることであり、その立場から脱出するには許すといふ道しかないのだ。だれかによって自分が永久に傷ついていなければならない理由はどこにもない。その氣づきのなかに大きな力がひそんでゐる。（中略）
許しの第一ステップは、相手をふたたび人間としてみるといふことにある。弱氣になってゐる時、配慮を失ったとき、混亂してゐるとき、苦しんでゐるとき、人間である相手は過ちを犯す。傷つけた相手は缺陷があり、もろく、孤獨で、貧弱で、感情的に未成熟な人間であり、いはば、自分とおなじやうな存在である。自分もさうであるやうに、相手もまた浮沈をくりかへしながら、たましひの旅路の途中にあるのだ。
相手が人間であることをみとめさえすれば、自分の内面をみつめる余裕が生まれ、許しがはじまる。内面には怒りがたまってゐる。だからまづ、枕をなぐりつける、ひとりで大聲をあげる、友人に心境を打ちあけるなどして、そのブロックされたエネルギーを解放してやる必要がある。怒りの感情を解放すると、怒りの奥に隱れてゐた悲しみや憎しみなどが噴出してくることがある。そのときは、それぞれの感情にひたればいい。そのつぎのステップがむづかしいのだが、そこをとほりぬける必要がある。それらの感情を手放すといふステップである。許しは自分を傷つけた相手の問題ではない。相手のことは心配しなくていい。相手が何をしようと、傷ついたのは自分である。それは相手の問題ではなく自分の問題なのだ。だから、相手への否定的なおもひを手放すことのなかに自由がある。だれもが對處すべき問題をかかえてゐるが、それは自分の問題ではない。自分が問題にすべきなのは、こころの平安や幸福を手にすることなのだ。】
（同書「許しのレッスン」318〜324ページ）
（武藏野大學非常勤講師)