2016年12月25日

數學における言葉(その七) 論証としての数学の根源にあるもの 河田直樹

論証としての数学の根源にあるもの
 「数論」と言はれる分野に、小学生でもその問題の意味が理解できる未解決問題があります。「双子素数(twin prime number)」についてのもので、たとへば、(3,5)、(5,7)、(11、13)、(「17、19」、(29、31)のやうに、隣り合ふ2つの奇数がともに素数であるとき、その2数を双子素数と言ひますが、この「双子素数が無限に存在するか否か」は、現在でも分かつてゐません。2001年における最大の双子素数は、
    〖318032361×2〗^107001±1
で、これはおよそ3万2千桁の数です。素数自身が無限個存在することは、すでに2000年以上も前にユークリッドの『原論』第9巻命題20できちんと示されてゐますが、たとえ3万桁以上の「双子素数」が見つかつたとしても、傲岸不遜な数学者は「たかが3万桁」と思つてゐます。
 いまひとつ、誰にでもその意味が分かる有名問題に「ゴールドバッハの問題(Goldbach’s problem)」と言はれてゐるものがあります。これは「6以上のすべての偶数は2つの奇素数(奇数の素数)の和である」という予想で、たとへば「6=3+3、8=3+5、10=3+7、12=5+7、14=3+11」といつた具合に、です。もちろん、和の形は「10=5+5」と表すこともできて、2数の和の形は唯一通りに定まるわけではありませんが、とにかく2つの奇素数の和になる、と主張してゐるのです。
この問題は、1742年にゴールドバッハといふ人が、レオンハルト・オイラーへの手紙の中で述べた予想です。私が小学生の頃は6から10万までの偶数については確認されてゐましたが、それから40年後の2001 年には、およそ400兆までの全ての偶数について確かめられてゐます。しかし、これについてもいささか極端なことを言へば、数学者たちは「10万」も「400兆」も大差ないと感じてゐます。なぜなら、「すべての自然数」についての“最終結論”ではないからです。
数学以外の“自然科学”であれば、3万桁あるいは400兆まで調べれば、そこから躊躇ふことなくある結論を導き出すに違ひありません。数学以外の科学では、実験や調査などから得られる膨大なデータこそが何よりも大切で、それに依拠してある判断を下してゐます。しかし、数学ではそのやうなことは一切許されません。それが、確実な証明を追ひ求める古代希臘数学の精髄であり、その魂と精神とを受繼ぐ現代数学の有り様なのです。ハムレットの「言葉、言葉、言葉」ではありませんが、「証明、証明、証明」なのです。 
 では、その執拗な「証明への衝動」は、いつたいどこから生まれてきてゐるのでせうか。私自身は、この証明への衝動を決して「理性的」な態度とは思つてゐません(もつとも「理性的」といふ言葉の定義は曖昧ですが)が、ともあれ、さうした衝動の根源にあるものはいつたい何なのでせうか。唐突ですが、この問題に関連して私がいつも思ひ出すのは、稲垣足穂(1900〜1977)の『弥勒』のテーマである「お終いの雰囲気」です。ここには以下のやうな記述が見られます。

  彼は何であっても、「物事のお終い」が大好きであったからだ。すなわちそこにある、どこか遠方へ出発する前夜のような、それとも取り片づけを終へて何かを待つばかりになつたとでも言ふやうな、静かな一刻に憧れてゐたからだ。(中略)あの真鍮の砲弾が普通の世紀末ではないのと同じ意味で、「わが終末論」については、いつかは人々に説明できることであらう。今のところ江美留は、―何事であれ、自分はお終ひの気分が大好きなのだ、と言つておくより他はない。

 足穂の語る「お終いの気分」については、次回でもう少し突つ込んで述べてみたいと思ひますが、ともかくこの「お終いの気分」と「証明への衝動」とが深く繋がつてゐるといふ直観を、私はいまもつて捨てることができません。          (河田直樹・かはた なほき)
posted by 國語問題協議會 at 11:04| Comment(0) | 河田直樹