2016年11月27日

数学における言葉(その六)

數學における言語(その6) 希臘数学の独創

 オズヴァルト・シュペングラー(1880〜1936)の『西洋の没落』は、「ゲーテから方法を得、ニーチェから問題を得て」書かれた「文明の形態比較論」ですが、その第1章は「数の意味についての考察」から開始されます。そこで述べられてゐることは、一般的に“普遍的”だと考へられてゐる“数学”にも、各文明圏に応じたさまざまな特徴があって、その代表的なものに「エジプト数学、ギリシア数学、ローマ数学、アラビア数学、インド数学、シナ数学」などがある、といふものです。もちろんこの中には我が国の「和算」も入れていいかと思ひますが、これらの数学の中で、現代の数学に通ずる著しい特徴を持っているのが、前回の最後に述べた「論証としての数学」の濫觴である希臘のそれです。
 『ピタゴラスから電子計算機まで』(板倉聖宣編・国土社)といふ本は私の子供の頃の愛読書でしたが、そこには次のやうな主旨の記述があります。すなわち、3つ辺の長さが(3、4、5)、(5、12、13)、(7、24、25)、(8、15、17)、(12、35、37)のような場合、それが「直角三角形」になることは、エジプト人もバビロニア人も、そしてインド人も大昔から知ってゐた、のみならず、直角三角形の3つの辺(a,b,c)の間にいつも“a^2+b^2=c^2”に違ひない、という結論さへ下してゐた、しかし「ほんたうに、いつもそんなことが言へるのだらうか?確かな証拠があるのだらうか?」といふ疑問を持ち、それに見事にこたへたのがひとりギリシア人であった、といふものです。
 哲学者下村寅太郎(1902〜1995)は、「数学の形而上学的系譜」といふ論文で「支那数学」や「和算」にも触れて次のやうに述べてゐます。

  支那数学や後代の和算においてすら、我々が一般にギリシア的数学以外の文献に見るものは、その問題の高度や秀抜なるにかかはらず、単に具体的な問題とその解法に止まり、問題の解法の一般的な解法に対する省察がない。このことはさらに一般化して言へば、証明方法の純粋に論理的な構造の探究や反省の欠如である。これの欠如するところでは完結した体系的業績は存しない。個々の問題の蒐集が存するのみである。

 まことに示唆に富む指摘で、希臘以外の文化圏の数学は単なる経験から生まれる個々の問題の集積であり、そこには問題の一般化や証明に対する志向性がない、といふわけです。
言論による論証によって“a^2+b^2=c^2”が成り立つ(いわゆる「ピュタゴラスの定理(三平方の定理)」ことを示したのは、希臘人ですが、ここで大切なことは、「どのような直角三角形についても」といふことで、これを言ひ換へれば「すべての直角三角形について、a^2+b^2=c^2が成り立つ」
といふ「全称命題」の証明を問題にしてゐる点です。本連載の「その2」で取り上げた「直径ABの円周上の、A、B以外のどのような点Pをとっても(とはつまり、円周上の“無限個”の点Pに対して)∠APB=90°が成り立つ」といふのも「全称命題」であり、このやうな命題を言論によって明らかにすることが、希臘数学の独創なのです。 
 下村氏は「数学の成立こそは人間の文化の歴史における異常な事件である。まさしく世界史的事件である」と喝破してゐますが、言ふまでもなく、ここで言ふ「数学」とは「論証としての数学」であり、これは決して大袈裟な物言ひではありません。「数へる」「量る」の延長線上に生まれる「単なる技術知としての数学」はおよそいかなる段階のいかなる社会においても存在しましたが、「論証としての数学」を形成したのは、ひとり古代希臘人のみでした。
 ところで、このやうな希臘人の志向性は、いったいどのやうな魂あるいは精神性によるのでせうか。次回は、この点について少し考へてみたいと思ひます。
                    (河田直樹・かはたなほき)
posted by 國語問題協議會 at 12:03| Comment(0) | 河田直樹
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