2017年07月07日

數學における言語(14)無限等比級數

前回、以下のやうな等式
0.33333……=1/3 ・・・@
を紹介しましたが、この等式と、たとへば
3+7=10 ・・・A
といふ等式とを比較して、私が長い間考へてきたことは、この2つの等式の等號「=」は、生身の人間にとつてはその意味が根本的に異なるのではないか、といふことでした。
等式Aの等號は、言つてみれば現實的經驗世界(=身體世界=形而下世界)で確認することができます。たとへば、實際に3個のリンゴと7個のリンゴを用意し、リンゴに手で觸れながら數へていくと、右邊の「10」に到達できます。ここに人間固有の理知の力が働いてゐるとしても、等式Aは小學1年生でも了解できます。
ところが、等式@(左邊を「無限等比級數」といふ)は、前回にも申し上げましたやうに、現實的、經驗的には確認することができません。ここで、もう少し分かりやすい例を擧げてみませう。20170707zu.jpg

1辺の長さが1の正方形を考へ、右圖のやうに、これを半分に分割し、次に殘りの部分を半分に分割し、以下同じやうに、どんどん半分に分割していきます。すると、図から容易に分かるやうに、
1/2+1/4+1/8+1/16+……=1 ・・・B
といふ等式が成り立つことが豫想されます。

等式Bの左邊も、@の左邊と同様に「無限等比級數」と言はれるものですが、上に述べた操作を現實に繰り返し行つて、左邊が右邊の「1」になることが、実際に確認できるのでせうか?言ふまでもなく、自分の全人生の時間を費やしても、現實的には「1」に到達することは不可能です。にもかかはらず、數学の世界では、@やBは當然のやうに「論理的に眞」であるとして議論を進めていくのです。

では、何故論理的に眞とするのでせうか?それは、鷗外の言ふやうに、「等式Bの左邊」は「1」である「かのやうに」考へるからなのでせうか?あるいはまた、「演繹論理」ではなく「歸納論理」による法律學を確立した末弘嚴太郎(いずたらう)(1888〜1951)の言ふ「嘘の効用」として、等式Bを是認するのでせうか?斷じてそんなことはありません。「數學」においては、等式Bは「かのやうに」でもなければ、「嘘の効用」でもない、それは、「絶體的な眞」としての等式です。そうであるとすれば、これらを「眞」とする私たちの精神とは一體如何なるものなのでしせうか?

もちろん、日本で二人目のフィールズ賞受賞者である廣中平祐氏も「數學は技術を超えてはならないもの」と語られてをり、「無限級數」を數學教師として取り扱ふ時の私も、それを肝に銘じてゐます。しかし、その一方で「技術」の大前提である、「無限」自體を問ふ私といふ生身の人間がゐることも確かなのです。

フランスの數学者アンリ・ポアンカレ(1854〜1912)は、1、2、3、・・・という自然數系列にお終ひが、私たちの現前に現れない理由を「1つの操作が1度可能だと認めらさへすれば、その作用を際限なく繰り返して考へることができると信ずる理知の能力を私たちが肯定するところにある」と述べてゐます。しかし、私たちの「身體(=現實世界)」は「1つの操作を際限なく繰り返す」ことはできません。端的に言へば、私たちの身體はいづれ「死」に至り、1つの操作の“無限”の繰り返しは不可能なのです。 結局、小矩形で、1邊の長さが1の正方形を全て覆ひt盡くすことはできません。しかしその一方で「數学」が「無限」を容認し、すべて覆ひ盡くすことが可能であるとする、その精神的な淵源とは一體何なのでせうか。私が最も注目したいのは、この點なのです。         
(河田直樹・かはたなほき)
posted by 國語問題協議會 at 20:56| Comment(0) | 河田直樹
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