數學における言語（14）無限等比級數

前回、以下のやうな等式
0.33333……＝１/３　・・・�@
を紹介しましたが、この等式と、たとへば
3＋7＝10　・・・�A
といふ等式とを比較して、私が長い間考へてきたことは、この2つの等式の等號「＝」は、生身の人間にとつてはその意味が根本的に異なるのではないか、といふことでした。
等式�Aの等號は、言つてみれば現實的經驗世界（＝身體世界＝形而下世界）で確認することができます。たとへば、實際に3個のリンゴと7個のリンゴを用意し、リンゴに手で觸れながら數へていくと、右邊の「10」に到達できます。ここに人間固有の理知の力が働いてゐるとしても、等式�Aは小學1年生でも了解できます。
ところが、等式�@（左邊を「無限等比級數」といふ）は、前回にも申し上げましたやうに、現實的、經驗的には確認することができません。ここで、もう少し分かりやすい例を擧げてみませう。

1辺の長さが1の正方形を考へ、右圖のやうに、これを半分に分割し、次に殘りの部分を半分に分割し、以下同じやうに、どんどん半分に分割していきます。すると、図から容易に分かるやうに、
1/2＋1/4＋1/8+1/16＋……=1　・・・�B
といふ等式が成り立つことが豫想されます。

等式�Bの左邊も、�@の左邊と同様に「無限等比級數」と言はれるものですが、上に述べた操作を現實に繰り返し行つて、左邊が右邊の「1」になることが、実際に確認できるのでせうか？言ふまでもなく、自分の全人生の時間を費やしても、現實的には「1」に到達することは不可能です。にもかかはらず、數学の世界では、�@や�Bは當然のやうに「論理的に眞」であるとして議論を進めていくのです。

では、何故論理的に眞とするのでせうか？それは、鷗外の言ふやうに、「等式�Bの左邊」は「1」である「かのやうに」考へるからなのでせうか？あるいはまた、「演繹論理」ではなく「歸納論理」による法律學を確立した末弘嚴太郎(いずたらう)（1888〜1951）の言ふ「嘘の効用」として、等式�Bを是認するのでせうか？斷じてそんなことはありません。「數學」においては、等式�Bは「かのやうに」でもなければ、「嘘の効用」でもない、それは、「絶體的な眞」としての等式です。そうであるとすれば、これらを「眞」とする私たちの精神とは一體如何なるものなのでしせうか？

もちろん、日本で二人目のフィールズ賞受賞者である廣中平祐氏も「數學は技術を超えてはならないもの」と語られてをり、「無限級數」を數學教師として取り扱ふ時の私も、それを肝に銘じてゐます。しかし、その一方で「技術」の大前提である、「無限」自體を問ふ私といふ生身の人間がゐることも確かなのです。

フランスの數学者アンリ・ポアンカレ（1854〜1912）は、1、2、3、・・・という自然數系列にお終ひが、私たちの現前に現れない理由を「1つの操作が1度可能だと認めらさへすれば、その作用を際限なく繰り返して考へることができると信ずる理知の能力を私たちが肯定するところにある」と述べてゐます。しかし、私たちの「身體（＝現實世界）」は「1つの操作を際限なく繰り返す」ことはできません。端的に言へば、私たちの身體はいづれ「死」に至り、1つの操作の“無限”の繰り返しは不可能なのです。　結局、小矩形で、1邊の長さが1の正方形を全て覆ひｔ盡くすことはできません。しかしその一方で「數学」が「無限」を容認し、すべて覆ひ盡くすことが可能であるとする、その精神的な淵源とは一體何なのでせうか。私が最も注目したいのは、この點なのです。　　　　　　　　　

（河田直樹・かはたなほき）

數學における言語（その13） 線分の3等分点をめぐつて

前回は、私の數學への關心が、その有用性にではなく、例の圖式の右列に掲げた「人間、精神、身體」との関係にある、と申し上げました。
「人間」を「精神」と「身體」に分けて考へるといふ、いはゆる「心身二元論」は、デカルトをもつて嚆矢とすると言はれてゐますが、「余は思考す、故に余は存在す」といふ「精神が身體を發見する物語」は、名無しの猫ちやんによると「三つ子でも分る樣な眞理」といふことですが、私もこれからその「三つ子でも分る樣な眞理（？）」に則つて話を進めていきたいと思ひます。ただ、ここで注意しておきたいことは、「精神」や「身體」やの定義についてですが、取りあへずは精神＝理知、悟性、思考（形而上世界、手で觸れ得ないもの）身體＝肉體、運動、具體的個物（形而下世界、手で觸れ得るもの）　といふ風に理解しておいて貰つてよいかと思ひます。理知と悟性とはどこが、どのやうに違ふのか、といつた疑問はここではひとまづ措いておきます。

このエッセイのはじめにも申し上げましたが、私は長年「數學」を生業にしてきましたが、小學高學年の頃から、數學ができる友人たちの數學好きと、自分のそれとは少し、いやかう言つてよければ決定的に意味が違ふのではないか、と感じてゐました。これは、實は私が數學教師になつてからも同僚の數學教師たちを見てゐてづつと感じ續けてゐたことでした。それはどういふことか、端的に申し上げると私は、「數學そのものよりも、それを支へてゐる人間精神、あるいは身體と不可分な心の在り方の方に強い関心と興味があつた」といふことです。ここは大切なところで、なかなか理解してもらへないので少し詳しく説明します。

小學5年生のとき、下圖のやうな「長さ1の線分の3等分点を作圖する」といふ問題を宿題として出されたことがあります。これは、圖のように平行線を利用すれば、すぐにその作圖をすることができます。

實際、算數のきる同級生の一人はすらすらとこのやうに答へ、與へられた線分の3等分点を作圖し、先生も「よくできました」と、少しばかりの補足説明をしてそれで終はりでした。しかし、小學生の私は、どうしても納得できなかつたのです。１/３を小數に展開して１/３＝0.33333……　　・・・（＊）となることは知つてゐましたので、もし、數直線上を、0.3、0.33、0.333、・・・のやうに辿つて、3等分点を定めようとすると、この方法では永久に3等分点に到達できないのではないか、さうであれば等式（＊）は何かをかしい、あるいは等式（＊）の等号｛＝｝を保證してゐるのは、一體何なのだらう、といふことでした。

これは明らかに「數學」から逸脱した問題ですが、實は同じやうな荒唐無稽な‘妄想’はすでに小學1年生の頃からありました。たとへば午後2時を告げる、居間の柱に掛けてあつた時計の「ボーン、ボーン」といふ音が聞こえる。それを聞いて私は「2時の次は何時だらう」と自問して、それは「2時1分でもなく、2時1秒でもなく、・・・」と考へ、結局、2時のすぐ次の時刻はないのだ、と想ひ至つたときの衝撃は、今でも忘れ難いものです。そして、「2時から2時1分」までの間には、ほとんど氣の遠くなるやうな時刻が詰まつてゐて、突如、「2時1分」には、自分が生きてゐる間には到達できないのではないか、それは遠い未来の彼方なのではないか、と感じられ、どうしてだか分かりませんが、輕い焦り、奇妙な焦燥感のやうなものを覺えたものでした。
　いづれにせよ、等式（＊）の等號「＝」を、「論理的に正しい」とし、それを保證してゐるのは、何なのか。實は、これは、後年私にとつては大問題になつていくテーマでした。

（河田直樹・かはたなほき）

數學における言語（その12） 數學と自然・社會

　前回は、數學とそれを取り巻く世界との關係の概觀圖を提示して、私自身は「數學」と「自然科學、社会科學、工學、醫學」などとの關はり方にはさほど興味はない、と申し上げました。しかし、これはもちろん少々言い過ぎで、數學言語が自然現象の解明に多大の寄與をしてきたことは、科學史を繙けば直ちに了解できることで、「古典力學、相對論、量子力學、熱力學、宇宙論」や「生命化學、遺傳子工學」など、極大世界から極小世界まで、その至るところに顔を出す「數學」は、まことに心躍らせるものがあります。
　たとえば、「フーリエ級数」の創始者フーリエ（1772〜1837）は、彼の有名な『熱の解析的理論』の序文で「熱は、重力と同様に、宇宙の全物質を貫く。その放射は空間のあらゆる部分を占める。われわれの著作の目的は、この熱といふ元が從ふ數學法則を明らかにすることである。この理論は、今後、一般物理學のもつとも重要な一分野となるであらう」（吉川敦著『フーリエ現代を担保するもの』）と述べてゐますが、熱現象を數學的に解明せんとする、フーリエの滿々たる野心の傳つてくる文章です。「フーリエ級数」によつて、私たちは様々な直線や曲線を「無限個の三角関数の和」で表現することが可能になりましたが、フーリエ解析は現代の「通信理論」にはもちろんのこと、私たちが日常的に利用してゐるCDの音楽やDVDの映像などにも不可欠のものとなつてゐます。
　のみならず、「數學的思考法」は法學にも顔を覗かせ、「國際法の祖」と言われるフーゴ・グロティウス（1583〜1645）は、『戦争および平和の法』の「諸論第58節」で次のように語つてゐます。

　　あたかも數學者たちが、彼らの數學を具體的な實態から抽象されたものとして取り扱ふやうに、私は法を取り扱ふ場合に私の心をいかなる個別的な事實からも引き離してきてゐるといふことを、わたくしは、いささかも嘘僞ることもなく、確言する。

　まことに天晴なmanifestoですが、グロティウスは第39節では次のやうにも述べてゐます。―「わたくしが關心事としてきたのは、自然法にかかはる事物の證明を、疑問の餘地のないやうなある種の基本的な概念に向かつて求めるといふことである。さうすれば、誰も自分自身に背反することなしにはそれらの證明を否認することができなくなるからである」と。私は、その昔この箇所を讀んだとき、グロティウスとほぼ同時代人のデカルト（1596〜1650）の『方法序説』第２部の「數學の問題から得ようと期待したのは、私の精神がいつも真理を糧とし、僞りの推論には甘んじないといふ習慣を得るため」といふ言葉を直ちに想起しましたが、「法」と「數學」とのアナロジカルな思考法は、こんなところにも發見することができるのです。
　數學と自然科學、社會科學、人文科學との關係について考へゆくとそれこそ議論百出の様相を呈しますが、政治、經濟分野と數學に關しても、たとへばウィリアム・ぺティ（1622〜1687）の『政治算術』のやうな著作が思ひ浮かびます。これはオランダやフランスと自國イギリスとの國力比較のために書かれたもので、この本には「土地の大きさと價値、人民、建築物、農業、製造業、商業、漁業、工匠、海員、兵士、公収入、利子、租税、餘剩金利、登記制度、銀行、人間の評價、海員および民兵の増加、港、位置、船舶、海上權力などに關する論説」といふ、實に長い副題がつけられてゐます。かうした多くのテーマがすべて數學と關はつてゐるわけで、數學の射程の廣大さが思ひ遣られます。
　話が脱線しましたが、當日の講演では、私は上で少し述べてきたやうな問題には、一切觸れませんでした。なぜなら、私の子供時代からの數學への嘘僞りのない切實な關心は、前回の圖式の右列に掲げた「人間、精神、身體」との關はりにあつたからです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（河田直樹・かはたなほき）