數學における言語（90） 中世�~學論爭と數學−スコラ哲學前󠄁期󠄁（�W）

　ところで、スコラ哲學の最盛󠄁期󠄁の第一の人物は、言ふまでもなくトマス・アクィナスですが、彼が登場してくるまでスコラ哲學はどのやうな經過󠄁を辿つていつたのでせうか。私はスコラ哲學の專門家ではありませんので、ここで詳述󠄁することはできませんが、“數學や論證”との絡みで、興味のある前󠄁期󠄁スコラ哲學者たちを少し紹介しておきます。
　北イタリア生まれのアンセルムス（1033〜1109）は“スコラ學の父”とも言はれてゐますが、極端な辨證論者たちには“信仰が理性に優先すべき”だと諭󠄀し、“信仰を先行させることを拒󠄁否するのは傲慢、信ずることを理解しようとしないことは怠慢”と說いたと言はれてゐます。とは言へ、彼は“必然的󠄁理由”によつて聖󠄁書の權威によらずに“�~の存在證明󠄁”を試みてゐます。その證明󠄁をひと言で述󠄁べるならば、この世界の事象にはすべて多樣な原因があるが、それらの�ｩ原因は結局唯一の獨立した原因、すなはち“�~”に歸着されるほかない、といつたものです。また彼は“無限”といふものにも想ひを馳せ、�~を“それより大きいものが考へられないもの（最大者）”と定義し、ここから�~“の存在を論理的󠄁にあぶり出さうともしてゐます。
　後年“ナントの敕令”で有名になる、そのナントのバレで騎士の家に生まれたアベラール（1079〜1141）は、“エロイーズ”との不幸な戀愛で有名ですが、彼も前󠄁期󠄁のスコラ哲學者として外すことができません。彼は“普遍󠄁は、まづ個々の事物より先に�~の內に存在し、その次󠄁に個々の物自身の內にその共通󠄁な本質を規定するものとして存在する”と考へてゐたやうで、アベラールは謂はばプラトン的󠄁な實在論とアリストテレス的󠄁唯名論の折衷論者であつたやうです。このやうな考へ方は、トマス・アクィナスやオッカムの考へ方を先取りしてゐたとも言はれてゐます。
　私が彼に興味をもつのは、彼の師であるロスケリヌスや“辨證法の第一人者”と言はれた實念論者ギヨームなどとの激しい確執の末、アベラールがパリで“辨證法（論理學）”を�ﾍへ、論理學の分野でスコラ學に大きく貢獻した點です。彼には、『肯定と否定』（1133）といふ著作が、遺󠄁されてゐますが、彼は“論理”を重視した頑固一徹の男で、自分で納󠄁得しなければ自說を絶對に引つ込󠄁めなかつたと言はれてをり、その結果樣々なエピソードを殘してゐます。たとへば、最後の�ﾍ父と言はれてゐる同時代者のベルナルドゥス（1090〜1153）は、面倒な“理窟”など無用で十字架のキリストへの愛に生きるべきだと考へてゐましたが、�~學問題にどこまでも“論證”を持ち出さうとするアベラールは、彼に烈しい嫌󠄁惡感を抱󠄁かせたと言はれてゐます。また、彼には『私の不幸な物語』があり、これは現在も日本語譯で讀めますが、それを讀むと彼の戀愛に對する徹底的󠄁な自虐󠄁的󠄁自己分析に驚きます。かれこれ20年以上前󠄁に出した拙著『数学的思考の本質』（PHP研究所）で、私は次󠄁のやうに書いてゐます。

「罪とは、女に欲情することではなく。その欲情に屈することである」と考えていたアベラールは、エロイーズに「あなたは忘れまいが、私の限りない激情はどんなにしばしば汚辱に我々の身体を委ねたことだろう主の受難の日や盛典の日にさえも私はこの泥濘の中にまみれ、何らの廉恥環も神への尊敬の念も、私はそれらから阻み得なかったのだ」と書かざるをえなかった。

　そして私は以下のやうに續けてゐます。「こんな烈しい悔恨の言葉を日本の『自然主義派』の小説家たちの誰が知っていたであろうか。この烈しさは『ユダヤ＝キリスト教』の契約言語の彼方にある『神』の存在抜きには考えられないのだ。『肉』は、究極の『神』を求めて身悶え、苦しみ、また時にまた『霊』は『神』そのものを凌辱しようとする倒錯に陥る。それが、霊肉分離の継承と叛逆にほかならない」と。
　アベラールの容赦のない“論理的󠄁自己分析”は徹底してをり、かうした�拐~は�~學論爭のみならず平󠄁行線論爭にも共通󠄁のものであることを、私たちは忘󠄁れるべきではないです。　　（河田直樹・かはたなほき）

※本連載の著者である河田直樹先生は令和5（2023）年8月󠄁に逝󠄁去されました。ここに謹んで哀悼の意󠄁を表します。未完で殘念ですが、本連載は今囘をもちまして終󠄁了いたします。

數學における言語（89） 中世�~學論爭と數學-スコラ哲學前󠄁期󠄁（�V)

　私は數學を通󠄁して“普遍󠄁論爭”の意󠄁味をはじめて知りましたが、數學屋が“圓”や“三角形”の議論を進󠄁めるときは、“圓や三角形一般のイデア”が問題にされてゐるのは言ふまでもありません。
　よく知られてゐるやうに『ユークリッド原論』の第１卷は

１．點とは部分をもたないものである
２．線とは幅のない長さである

のやうに點や線の“定義”の文言から始まりますが、普通󠄁の人であれば“部分をもたない點”がそもそも存在するのか、一體それは現實的󠄁にはいかなることを指してゐるのか、といつた疑問をもつはずです。なぜなら、私たちは現實には“部分をもたない點”など見たこともないからです。同樣に“幅のない線”も知りません。とすれば、私たちが“ユークリッド幾何”で相手にしてゐるものは、現實の點や線ではなく“理想化󠄁された點や線のイデア”であり、さうであるならば數學屋は“實在論者”であるほかはありません。いや、數學屋のみならず、幾何學の定理の證明󠄁を聽きながら納󠄁得する學生も、そのときは“圓や直線のイデア”を共有し、もはや“實在論（イデアの存在）”を信じてゐると言つても過󠄁言ではありません。なぜなら、そのイデアを共有しなければその證明󠄁が納󠄁得できないからです。
　少し煩はしくなりますが、今少し說明󠄁しておきます。例へば中學數學で學んだ“同弧に立つ圓周󠄀角はすべて等しい”といふ定理を說明󠄁するとき、私は具󠄁體的󠄁な圓を紙の上に描き、その圓弧上に１點を具󠄁體的󠄁にとつて解說を始めます。この場合、點の取り方は“無限”にありますが、どこに１點をとるかは自由で、その描かれた“圖”を參考にして議論を進󠄁めます。このとき、私はそこに描かれた“圖”そのものについて說明󠄁してゐるのでせうか？　もし、さうでるならば、その“圖”そのものの圓周󠄀角の大きさをたとへば分度器で測定すればよいのではないのでせうか。そしてまた別のところに點をとつて同樣に分度器で角の大きさを測り、なるべく多くの點をとつて、個々の場合について調󠄁べ上げ、その結果として、圓周󠄀角の大きさは等しいと結論してもよいはずです。
　ところが、數學の“證明󠄁”ではこのやうな個々の場合を調󠄁べ上げて、“歸納󠄁的󠄁”に結論を導󠄁いたりはしません。“證明󠄁”とは何かといふ問題はおくとして、ここに數學といふ學問の著しい特徵があります。數學における證明󠄁は“無限”通󠄁りの點をすべて包󠄁括網󠄁羅したものであり、大袈裟に述󠄁べれば、ここに人間の“無限への意󠄁志”を私は感じとります。この意󠄁志こそまた“�~（ユダヤ�ﾍやキリスト�ﾍなどの特定の�~ではない）”へのそれであり、“普遍󠄁槪念”の根源に��たはるものかもしれません。
　この“無限”に關連して、私は『ユークリッド原論』の次󠄁の第５公理に觸れておかなければなりません。すなはち「５．１直線が２直線に交はり同じ側の內角の和を２直角より小さくするならば、この２直線は限りなく延󠄁長されると２直角より小さい角のある側において交はること」といふ要󠄁請󠄁です。いささか面倒なもの言ひですが、これが有名な第５公理（『原論』では“公準”といふが、ここでは今風に“公理”と呼ぶ）で、要󠄁するに、「與へられた直線外の１點を通󠄁るその直線に平󠄁行な直線は１本だけしか存在しない」といふ公理（共通󠄁了解事項）です。きはめて現實的󠄁共通󠄁認󠄁識に感じられますが、ここで問題になるのは“２直線が限りなく延󠄁長されると”といふ箇所󠄁です。“限りなく”とはすなはち“無限に”といふことであり、これは人間の日常を越えた槪念で、“共通󠄁了解事項”として是認󠄁できるか否か、古來この點に疑問を持つ幾何學者は多くゐたやうで、それゆゑ、この公理を公理ではなく定理（證明󠄁で出來る命題）として證明󠄁しようと試みた數學者も數多くいたやうです。
　すでに67回目のブログで、「�~の存在證明󠄁」と「平󠄁行線の公理の證明󠄁」について私は言及󠄁しておきましたが、兩者はともに“超越的󠄁無限”を相手にした挌鬪であつたといふこともできるのです。中世の普遍󠄁論爭が私にとつて意󠄁味を持つ所󠄁以です。　　　　　（河田直樹・かはたなほき）

數學における言語（88） 中世�~學論爭と數學-スコラ哲學前󠄁期󠄁（�U）

　“普遍󠄁”とは“あまねくゆきわたる”といふ意󠄁味ですが、それは言ひ直せばプラトン的󠄁な“イデア”といふこともできます。なぜ“イデア”なのかはいましばらく措くとして、いささか粗雜な捉え方ですが“普遍󠄁論爭”をひと言で述󠄁べるならば、
　　　イデアの存在を肯定する立場（實念論または實在論＝Realismus）
　　　　　　　　　　と
　　　イデアの存在を否定する立場（唯名論＝Nominalisme）
との間の論爭といふことができます。それはまた、
　　　種や類の存在が先（實在論）か個物の存在が先か（唯名論）
との論爭とも言へます。言ふまでもなく、前󠄁者がプラトンの、そして後者がアリストテレスの立場です。
　かうした問題がなぜキリスト�ﾍ�~學と關係してくるのか、これについては私自身は餘り興味はありませんが、簡單に說明󠄁するとそれは“全󠄁人類の救濟問題”として浮󠄁上してくるやうです。すなはち、“實念論者”たちは以下のやうに考へます。アダムによつて墮落した“ヒト”がキリストによつて救はれるためには“人類”といふ“普遍󠄁槪念”が人間の“本質”として前󠄁提されてゐなければならない、それゆゑ、人類といふ“類”の存在は肯定されるべきで、もしそれを認󠄁めなければ、アダムの原罪もキリストの受󠄁難も、單に個々の事實に過󠄁ぎず、人類の救濟といふキリスト�ﾍの�ﾍ義も無意󠄁味になる、といふわけです。それに對し“唯名論たち”は、アリストテレスに倣つて人間の類槪念は形相（eidos）として存在するのではなく（イデアとして存在するのではなく）、實在するのは多くの具󠄁體的󠄁個物であると考へます。このやうな考へ方を推し進󠄁めていくと、キリスト�ﾍの全󠄁人類救濟の普遍󠄁性は意󠄁味を失ひ瓦解していくことになります。實念論者と唯名論者の間に�~學論爭が引き起󠄁こされる所󠄁以です。
　話はいささか��道󠄁に逸れますが、學生時代の私はしばらくの間、キリスト�ﾍの“布�ﾍ活動”の意󠄁味が理解できませんでした（むしろ餘計な御世話だと感じてゐた）が、“布�ﾍ”は「“人類”といふ“普遍󠄁槪念”が人間の“本質”」として前󠄁提されてゐなければ不可能なことです。植民地その他のいろいろな政治的󠄁思惑があつたにせよ、“宣�ﾍ師”たちが異�ﾍ徒や非キリスト者に“キリスト�ﾍ”を�ﾍへ廣めるなどといふことは、理屈の上では唯名論には難しいことに思はれます。個々の人間はすべてその考へ方が異なるといふのが“唯名論”の前󠄁提ですから。なお、普遍󠄁論爭はカソリック（普遍󠄁）とプロテスタントの論爭、またこんにちのグローバリズム（普遍󠄁主󠄁義）とナショナリズム（民族主󠄁義）の對立にまでにまでその影響を及󠄁ぼしてゐるやうな氣がしてゐます。前󠄁囘私は、中世キリスト�ﾍにおける普遍󠄁論がよく理解できないでゐたと記しましたが、實は“普遍󠄁論爭”のその切實さを、私はキリスト�ﾍの�~學論爭から學んだわけではありません。種や類が存在するのか、いやそんなものは存在しないで存在するのは個々の具󠄁體的󠄁事物のみか、かうしたことを問題にした中世ヨーロッパの知性自體に感嘆せざるを得ませんが、數學屋の私はこの“普遍󠄁論爭”の深刻さを、實は“數學”を通󠄁してはじめて實感することになりました。私が驚くのは、�~學論爭ではなく、その根柢にある議論の仕方、あるいは根本的󠄁視點、視座なのです。
　私が“普遍󠄁”の存在、非存在の問題に直面したのは、幾何學の論證問題を考へてゐるときです。たとへば、圓にまつはる證明󠄁問題を考へるとき、その圓は紙の上に書かれた個々の圓についての議論なのか、それとも“圓一般（圓のイデア）”についての論證なのかといふ問題です。もしその議論が、個々の圓についてのものあれば、別の圓についてはその議論はもはや無意󠄁味になりますが、數學屋は決してそんな風には考へません。圓とは一般に“1點から等距󠄁離にある點の集まり”と定義されますが、數學屋の議論は、このやうな“圓（イデアとしての圓）”に對して行はれてゐます。私が、“普遍󠄁論爭”に強い關心を抱󠄁き始めた切つ掛けは、正に“數學”にあるのです。　　　　　　（河田直樹・かはたなほき）