數學における言語（49）遠近法の精神的構造

　Ivinsが『Art & Geometry』で提起してゐるのは「數學的論理と無限遠點（神）への信仰」といふ問題でもあると私は考へてゐますが、これを分かりやすく圖式化すると、

　　［ユークリッド幾何］：［遠近法］＝［論理］：［無限遠點］

といふ比例式になります。現代人にとつてはほとんど無意味と感じられる中世の神學論爭も、私にとつては“［論理］：［無限遠點］”の問題であり、それは單に「キリスト教」の問題ではなく、時代を超えた普遍的な問題だと思はれます。

　私は、あのゴルゴダの丘で十字架にかけられたイエスが「エリ・エリ・レマ・サバクタニ（わが神、わが神、どうして私をお見捨てになつたのですか）」といふ問ひを問ふことから原始キリスト教が始まつたと考へてゐますが、ユダヤ教から出發したキリスト教にはさまざまな異端が生まれてゐます。その最大の一派が「グノーシス（希臘語で知識）派」で、キリスト教の教義を希臘哲學によつて確立しようとした人々（パシレイデスやヴァレンティノス）でした。私がこの派に興味を持つのは、彼らが「神の子キリストが受肉したことを否定」し、イエス（肉体）とキリスト（精神）とを明確に區別してゐるといふ點です。私はここに希臘哲學と結びついたグノーシス派の深い宗教的な智慧を感じるのです。

　「異端」ではありませんが、原始キリスト教に立ちはだかつた者としてネオ・プラト二ストのプロティノスにも大いに關心をそそられます。彼はプラトンの教説をさらに神秘化しましたが、プロティノスの哲學は、“［論理］：［無限遠點］”の問題を實に切實な形で提示してゐるやうに思はれます。彼が“太陽”に譬へた「一者」は超越界に君臨する無限遠點（神）であり、そこから絶えず發せられる光が「萬物」を生み出すといふ圖式は、思考の遠近法に他なりません。Ivinsがプロティノスに言及する所以ですが、プロティノスについては次回から少し論じてみたいと思つてゐます。

　東京藝大教授の辻茂氏は『遠近法の發見』（現代企畫室）といふ本の「あとがき」で、「遠近法は、頭を突つ込めば突つ込むほどに問題は擴大してゆく」とお書きになり、次のやうに記されてゐます。

無限の空間を、限られた一枚の紙の上に表さうといふ、深い奥行と丸い廣がりのある世界を平面に移さうといふ、おそらく永遠に解決をみない、つまり不可能なことを行はうとするのですから、これはおいそれと結論が出ることではありません。（中略）畫家はその制作を通して、そして數學者は、數學を通して、それぞれにのめり込んだまま、眞に美術的であると同時に理論的な解答は、先送りになつたままであり續けたといふことなのでせう。（太字河田）

　小學1、2年生の頃、「遠近法」によつて描かれた上級生の繪を見て、ひどく感動した記憶があります。“無限の空間”が平面に見事に移されてゐるのは、幼い私には驚きでした。また、ルネッサンス期の西洋の画家たちの「遠近法」で描かれた繪のほとんどが、キリストにまつはるものであることも、中學生の私には不思議でした。あの有名なダビンチの『最後の晩餐』のみならず、辻氏の『遠近法の發見』で紹介されてゐる28作品はすべてキリスト教にまつはるものです。たとへば、マザッチョの『三位一體』、ピエロ・デラ・フランチェスカの『キリストの笞打ち』、ロレンツォ・ディ・ニッコロの『聖母子と聖者たち』といつた具合です。

　ルネッサンス期の繪畫に宗教的テーマが多いのは、その時代背景を考へれば一應納得できますが、では、なぜそれを「遠近法」で描かなければならなかつたのか？それは、宗教とは獨立に遠近法がすでに確立されてゐたからではなく、むしろ遠近法は神を觀ようとする眼が生み出したと言ふべきかもしれません。それは、vanishing point（無限遠點＝神）を觀ようといふ不可能を渇仰する神學の賜物だと私には感じられます。誤解を恐れずに言へば、グノシス派やプロティノスの哲學こそが「遠近法」や「射影幾何學」を創出したのです。（河田直樹・かはたなほき）

幾何學の意味の變容（�V）（47）

「解析幾何學」の世界では、「點」は“部分をもたないもの（『原論』）”ではなく２つの實數の組(x,y)であり、直線や圓などの圖形は最早紙の上に書かれた“セン”や“マル”ではなく、それらは“數式”で定義されるものとなりました。したがつてゐたとへば“２直線が交はるか否か”といつた幾何學的問題は、“２直線の方程式を連立した連立方程式が解を持つか否か”といふ代數的問題に姿を變へてしまひます。つまり、これが幾何學における「意味の變容」であり、實はこの「意味の變容」については中學や高校で「圖形と方程式」として學んだことでした。

しかし、これで幾何學の「意味の變容」が終はつたわけではありません。ご承知のやうに、アーベル（1802〜1829）やガロア（1811〜1832）の５次方程式の研究から“群”といふ概念が生まれ、今度は代數學自體に「意味の變容」が起こります。いはゆる「抽象代數學」の誕生です。

「代數學」は、「具體的な數の計算」から「文字の計算」に移行することによつて生まれましたが、その文字計算の操作自體を對象化して、その“操作（囘點や對稱移動、文字の並べ替えなど）の計算”を考へて生まれたものが「抽象代數學」と言はれるものです。“群（group）”といふ概念もそこから生まれたもので、さらに整數（0、±1、±2、・・・）の「加法、減法、乗法」を抽象化して“環（ring）”といふ概念が、そして有理數（整數比で表はされる數で、いはゆる分數）の演算から“體（field）”といふ概念が生まれます。これらについてここで詳述することはできませんが、いづれにせよ「反省による主題化」によつて、古典的な代數學は「抽象代數學」に變容していくことになり、この抽象代數學と幾何學が結びついて、幾何學に再び「意味の變容」が齎されます。この「意味の變容」について統一的な視點を與へたのが、獨逸の數學者Felix Klein（1849〜1925）です。クラインと言へば、メービウスの帯の３次元versionである“クラインの壺”がよく知られてゐますが、23歳のクラインがエルランゲン大學に就職したときの講演で發表した「エルランゲン目錄（Erlangen programm）」でその統一的視點が語られます。その内容は要するに「一つの幾何學は一つの變換群によつて不變な性質を研究する學問（不變式論）」といふものでした。“變換群”といふ厄介な言葉が出てきましたが、たとへば中學で學んだ幾何における“合同”や“相似”といふ考へ方が、短絡的に言へば“合同變換（ある圖形をそれと全く重なるやうに移す操作）”や“相似變換”のことだと思つて頂いて差し支へはなく、これらの“變換”も變換群の一種です。

私たちは、ふつう△ABCと△A'B'C'が相似であるとき、この２つの圖形は“同じ形”をしてゐるといふ言ひ方をしますが、氣難しい數學屋は、そもそも圖形の“形”とは何かといふところから出發して、“圖形の形とは、任意の相似變換によつて不變に保たれる性質”と定義し、その相似變換群によつて不變な性質（つまり圖形の形）を研究する幾何學が“相似幾何”だ、といふ言ひ方をするのです。言ふまでもなく、合同變換によつて不變に保たれる性質を調べる幾何が“合同幾何”です。

19世紀における幾何學には合同幾何や相似幾何の他に、「アフィン（affine）幾何（擬似幾何）」、「射影幾何」、「非ユークリッド幾何（楕圓型 と雙曲型の２つ）」といつたものが知られてゐます。アフィン幾何といふのは、相似變換をさらに擴張して得られる變換群に對する幾何學で、この世界では線分の長さや角、また圓や三角形の大きさといつたものは意味をもちません。いづれにせよ、これらの幾何學や20世紀になつて急速に發展した「位相幾何（通俗的な言ひ方をするとコーヒーカップとドーナツが同じ形だと認識する幾何）」などは、すべてクライン流の幾何學認識で把握することができ、さらにこれらはすべて「射影幾何」から派生することがクラインによって示されました。しかし、19世紀後半になってクラインの幾何學認識の枠には收まらない幾何學が生まれます。これが“リーマン幾何學”と呼ばれてゐるものですが、殘念ながらこれについてここで説明することはできません。
（河田直樹・かはたなほき）

幾何學の意味の變容（�U）（46）

非ユークリド幾何の出現によつて幾何學の「意味の變容」が起こつたといふことは前回お話ししましたが、「意味の變容」といふ言葉は、實は1973年『月山』で芥川賞を受賞した森敦氏のユニークな評論『意味の變容』から拝借したものです。この作品は74年から5回に亘つて「群像」に連載され、單行本は84年筑摩書房より刊行、さらにその7年後の91年に「文庫本」が出てゐます。文庫本には「意味の變容　覺書」が付されてゐて、森氏は「わたしは學生のころから數學が好きで、數學だけはよく勉強した」とお書きになり、學校をやめてからは數學書が手許になく次第に忘れていつたが、しかし忘れようにも忘れきれないものが頭に残り、その残つた初歩的な數學でいろいろなことを考へるのが樂しかつた、と回想されてゐます。

『意味の變容』は「寓話の實現、死者の眼、宇宙の樹、アルカディア、エリ・エリ・レマ・サバクタニ」の5章からなりますが、各章についてそのテーマを私流に端的に要約すれば、
寓話の實現−森敦の『ツァラトゥストラはかく語りき』
死者の眼−森敦のレンズ磨きと無限遠點
宇宙の樹−森敦の非ユークリﾂド幾何と位相幾何學　
アルカディア−森敦の言語論と意味の變容論
エリ・エリ・レマ・サバクタニ−森敦の『海と夕焼』
といふ具合になります。『意味の變容』は、ピアジェのいふ「反省に基づく主題化」といふ知的行為によつて、人生の様々なモノやコトの意味が變容していく様を樂しめる本で、讀者の方々にも一讀を薦めておきたいと思ひます。

ところで、「幾何學の意味の變容」についてですが、結局幾何學とは何を研究する學問なのでせうか。こんにち、「合同・相似」といつた言葉が登場する「ユークリﾂド幾何」は中學で學びますが、さらに中學では、直線や円や抛る放物線などをxやyの式で表はす幾何學も學びます。いはゆる「解析幾何學」で、これはフェルマーやデカルトたちによつてはじめられたもので、アラビア代數學と幾何學の結婚でした。小林秀雄は「常識について」で次のように述べてゐます。

デカルトは、數學を學んでみて、この貴重な學問が、なぜ死んでいるかを看破した。それはこの學問が、常識に結合してゐないからなのだ。數學の仕事の背後では、目に見えぬ、極度に純化された常識が働いてゐるはづなのだが、これに目を着けないから、數學は惡く専門化し、幾何學者は圖形を追ひ、代數學者は符号に屈從し、實効のない、いたづらに複雑な技術と化してゐる。デカルトは、數學を計算の技術と見る眼から、數學を「精神を陶冶する學問」と解する大きな精神の眼に飛び移る。そして、これを實地に當つて、陶冶してみる。すると古代の幾何學は近代の代數學に結合してしまつた。

「精神を陶冶する學問」といふ言ひ方は、大東亜戦争時における“精神主義”などといふ言葉を聯想して誤解する人もゐるかもしれませんが、そういふ人はデカルトの『精神指導の規則』を一讀し、さらにフレデリﾂク・ド・ブゾン氏の『La Science cartésienne et son objet』（HONORÉ CHAMPION）などに當たられてみるとよいでせう。『精神指導の規則』についてはいづれ數學との關聯で論じてみなければならないと思つてゐますが、小林秀雄は17世紀前半の歐羅巴における數學事情を的確に言ひ當てゐて、さすがだと思ひます。心理學者ジャン・ピアジェが指摘したやうに「代數學」自體も、單なる數値計算から「意味の變容」を通して生まれてきたものですが、その「代數學」と「幾何學」とが結合した結果、實はお互ひに影響し合つて、さらに「意味の變容」が起こります。ちなみに、拙著『優雅なe^iπへの旅』（現代數學社）でも述べたことですが、実は“貨幣”も「意味の變容」の結果であり、“假想通貨”も同様です。“アルゴリズム革命”などと大袈裟に受け止める必要など全くない、といふのが私の持論です。
（河田直樹・かはたなほき）