2017年08月11日

數學における言語(その15) 無限と絶對 河田直樹(かはたなほき)

 
 長方形をいくら繰り返して2分割しても、正方形を矩形で覆ひ盡くすことは現實的には不可能なこと、そして、その一方でその操作を際限なく續けていけば、いつかは必ず覆ひ盡くすことができるのではないか、といふ‘心理’も私たちの中には存在し、それゆゑ、
          1/2+1/4+1/8+1/16+……=1 
という等式が成り立つのではないかと豫想できることも前回述べました。
ところで、多くの人は、1、2、3、・・・と數へていき、それが非常に大きくなつたもの、あるいは想像を絶するほど限りのなく大きな有限數、そんなものこそ「無限」という認識をお持ちではないか、と思ひます。つまり、「無限」とは、數を順次數へていけば、いづれはそこに到達できる世界であり、有限數の彼方においてそれは無限と曖昧に溶融し、そしてどこかで地續きになつてゐる、と思つてゐるふしがあるのです。
たとへば、平成6年(1994年)に出た井尻千男氏の『劇的なる精神福田恆存』(日本教文社)といふ本のプロローグには「戰後ヒューマニズムといふ人間についての無限肯定論はすでに始まつてゐたのである」といふ言ひ方が見られますが、これは福田恆存が苦々しく思つてゐた「戰後の無條件解放論」の井尻流の表現であり、この場合の「無限」は、「人間の形而下的欲望の際限もない」といふ意味であらうか、と推察されます。
かうした「無限」といふ言葉の遣ひ方には、先ほども述べたやうに「非常に大きな有限」といふ意味合いが込められてゐて、井尻氏の頭の中では「非常に大きな有限」と「無限」といふ言葉がどこかで繋がつてゐると言はざるを得ません。さうでなければ「形而下の有限世界における際限もない欲望肯定」に對して「無限」といふ言葉が使へるはづはありません。少々皮肉を言へば、むしろ言葉の眞の意味における「(形而上的、數学的)無限」を肯定すれば、「ヒューマニズムにおける無條件解放」は自づから停止せざるを得ない、といふのが私の持論です。なぜなら、「無限」は、「形而下世界における無際限の欲望肯定を斷念する」ことによつてはじめて得られるからです。
 すでに、雙子素數の存在について述べたやうに「際限もない形而下的知的欲望」の結果、いくら大きな雙子素數を見つけてもそれは「雙子素數が‘無限’に存在する」といふことを證明したことにはなりません。もし、それが證明されたとすれば、おそらく巨大な雙子素數の存在を具體的に調べるといふことは最早無意味となり、その形而下的探究には終止符が打たれるはづです。數学の形而上的「お終ひの雰圍気」とはそんなものであり、それが數学の絶對的「無限」なのです。
「濱の眞砂は盡きぬとも」と言ひますが、アルキメデス(前287頃〜前212)がゲロン王に捧げた「砂粒を算へるもの」で述べてゐるやうに、その數も所詮は有限に過ぎないわけで、「無限」と連續しているわけではありません。數学における「無限」と「有限」とは決して連續するものではなく、實は截然と區別されてゐるのです。ここに「絶對」の意味があり、このことは、幾ら強調しても強調し過ぎることはない、と私は思つてゐます。無限と有限とは全く別次元の物なのです。
 ここまで、私は何について語つてきたのか、實は、「數学」についてではなく、福田恆存の語る「西歐精神について」なのです。恆存は「私たち日本人には、絶對性といふ觀念がない」と語り、「西歐精神について」の中で次のやうに述べます――「絶對といふのは、その相對の世界にあらざるもの、すべてであり、永遠であるもの、つまり、この世には在りえないものであります」と。「無限」といふものは、絶對に「この世に在りありえないもの」であり、それは經驗科學がそもそも關知しえない原理です。恆存は「理想人間像について」では、また次のやうにも書いてゐます―「ぼくたちは自然的、物質的、肉體的な個體の生活原理とは異る、それと次元を異にする原理といふものを必要としないであらうか」。この「次元を異にする原理」こそ「無限」の原理に他なりません。(河田直樹・かはたなほき)
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2017年07月07日

數學における言語(14)無限等比級數

前回、以下のやうな等式
0.33333……=1/3 ・・・@
を紹介しましたが、この等式と、たとへば
3+7=10 ・・・A
といふ等式とを比較して、私が長い間考へてきたことは、この2つの等式の等號「=」は、生身の人間にとつてはその意味が根本的に異なるのではないか、といふことでした。
等式Aの等號は、言つてみれば現實的經驗世界(=身體世界=形而下世界)で確認することができます。たとへば、實際に3個のリンゴと7個のリンゴを用意し、リンゴに手で觸れながら數へていくと、右邊の「10」に到達できます。ここに人間固有の理知の力が働いてゐるとしても、等式Aは小學1年生でも了解できます。
ところが、等式@(左邊を「無限等比級數」といふ)は、前回にも申し上げましたやうに、現實的、經驗的には確認することができません。ここで、もう少し分かりやすい例を擧げてみませう。20170707zu.jpg

1辺の長さが1の正方形を考へ、右圖のやうに、これを半分に分割し、次に殘りの部分を半分に分割し、以下同じやうに、どんどん半分に分割していきます。すると、図から容易に分かるやうに、
1/2+1/4+1/8+1/16+……=1 ・・・B
といふ等式が成り立つことが豫想されます。

等式Bの左邊も、@の左邊と同様に「無限等比級數」と言はれるものですが、上に述べた操作を現實に繰り返し行つて、左邊が右邊の「1」になることが、実際に確認できるのでせうか?言ふまでもなく、自分の全人生の時間を費やしても、現實的には「1」に到達することは不可能です。にもかかはらず、數学の世界では、@やBは當然のやうに「論理的に眞」であるとして議論を進めていくのです。

では、何故論理的に眞とするのでせうか?それは、鷗外の言ふやうに、「等式Bの左邊」は「1」である「かのやうに」考へるからなのでせうか?あるいはまた、「演繹論理」ではなく「歸納論理」による法律學を確立した末弘嚴太郎(いずたらう)(1888〜1951)の言ふ「嘘の効用」として、等式Bを是認するのでせうか?斷じてそんなことはありません。「數學」においては、等式Bは「かのやうに」でもなければ、「嘘の効用」でもない、それは、「絶體的な眞」としての等式です。そうであるとすれば、これらを「眞」とする私たちの精神とは一體如何なるものなのでしせうか?

もちろん、日本で二人目のフィールズ賞受賞者である廣中平祐氏も「數學は技術を超えてはならないもの」と語られてをり、「無限級數」を數學教師として取り扱ふ時の私も、それを肝に銘じてゐます。しかし、その一方で「技術」の大前提である、「無限」自體を問ふ私といふ生身の人間がゐることも確かなのです。

フランスの數学者アンリ・ポアンカレ(1854〜1912)は、1、2、3、・・・という自然數系列にお終ひが、私たちの現前に現れない理由を「1つの操作が1度可能だと認めらさへすれば、その作用を際限なく繰り返して考へることができると信ずる理知の能力を私たちが肯定するところにある」と述べてゐます。しかし、私たちの「身體(=現實世界)」は「1つの操作を際限なく繰り返す」ことはできません。端的に言へば、私たちの身體はいづれ「死」に至り、1つの操作の“無限”の繰り返しは不可能なのです。 結局、小矩形で、1邊の長さが1の正方形を全て覆ひt盡くすことはできません。しかしその一方で「數学」が「無限」を容認し、すべて覆ひ盡くすことが可能であるとする、その精神的な淵源とは一體何なのでせうか。私が最も注目したいのは、この點なのです。         
(河田直樹・かはたなほき)
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2017年06月07日

數學における言語(その13) 線分の3等分点をめぐつて

前回は、私の數學への關心が、その有用性にではなく、例の圖式の右列に掲げた「人間、精神、身體」との関係にある、と申し上げました。
「人間」を「精神」と「身體」に分けて考へるといふ、いはゆる「心身二元論」は、デカルトをもつて嚆矢とすると言はれてゐますが、「余は思考す、故に余は存在す」といふ「精神が身體を發見する物語」は、名無しの猫ちやんによると「三つ子でも分る樣な眞理」といふことですが、私もこれからその「三つ子でも分る樣な眞理(?)」に則つて話を進めていきたいと思ひます。ただ、ここで注意しておきたいことは、「精神」や「身體」やの定義についてですが、取りあへずは精神=理知、悟性、思考(形而上世界、手で觸れ得ないもの)身體=肉體、運動、具體的個物(形而下世界、手で觸れ得るもの) といふ風に理解しておいて貰つてよいかと思ひます。理知と悟性とはどこが、どのやうに違ふのか、といつた疑問はここではひとまづ措いておきます。

このエッセイのはじめにも申し上げましたが、私は長年「數學」を生業にしてきましたが、小學高學年の頃から、數學ができる友人たちの數學好きと、自分のそれとは少し、いやかう言つてよければ決定的に意味が違ふのではないか、と感じてゐました。これは、實は私が數學教師になつてからも同僚の數學教師たちを見てゐてづつと感じ續けてゐたことでした。それはどういふことか、端的に申し上げると私は、「數學そのものよりも、それを支へてゐる人間精神、あるいは身體と不可分な心の在り方の方に強い関心と興味があつた」といふことです。ここは大切なところで、なかなか理解してもらへないので少し詳しく説明します。

小學5年生のとき、下圖のやうな「長さ1の線分の3等分点を作圖する」といふ問題を宿題として出されたことがあります。これは、圖のように平行線を利用すれば、すぐにその作圖をすることができます。20170607zu.jpg

實際、算數のきる同級生の一人はすらすらとこのやうに答へ、與へられた線分の3等分点を作圖し、先生も「よくできました」と、少しばかりの補足説明をしてそれで終はりでした。しかし、小學生の私は、どうしても納得できなかつたのです。1/3を小數に展開して1/3=0.33333……  ・・・(*)となることは知つてゐましたので、もし、數直線上を、0.3、0.33、0.333、・・・のやうに辿つて、3等分点を定めようとすると、この方法では永久に3等分点に到達できないのではないか、さうであれば等式(*)は何かをかしい、あるいは等式(*)の等号{=}を保證してゐるのは、一體何なのだらう、といふことでした。

これは明らかに「數學」から逸脱した問題ですが、實は同じやうな荒唐無稽な‘妄想’はすでに小學1年生の頃からありました。たとへば午後2時を告げる、居間の柱に掛けてあつた時計の「ボーン、ボーン」といふ音が聞こえる。それを聞いて私は「2時の次は何時だらう」と自問して、それは「2時1分でもなく、2時1秒でもなく、・・・」と考へ、結局、2時のすぐ次の時刻はないのだ、と想ひ至つたときの衝撃は、今でも忘れ難いものです。そして、「2時から2時1分」までの間には、ほとんど氣の遠くなるやうな時刻が詰まつてゐて、突如、「2時1分」には、自分が生きてゐる間には到達できないのではないか、それは遠い未来の彼方なのではないか、と感じられ、どうしてだか分かりませんが、輕い焦り、奇妙な焦燥感のやうなものを覺えたものでした。
 いづれにせよ、等式(*)の等號「=」を、「論理的に正しい」とし、それを保證してゐるのは、何なのか。實は、これは、後年私にとつては大問題になつていくテーマでした。
(河田直樹・かはたなほき)
posted by 國語問題協議會 at 20:37| Comment(0) | 河田直樹