2017年05月10日

數學における言語(その12) 數學と自然・社會

 前回は、數學とそれを取り巻く世界との關係の概觀圖を提示して、私自身は「數學」と「自然科學、社会科學、工學、醫學」などとの關はり方にはさほど興味はない、と申し上げました。しかし、これはもちろん少々言い過ぎで、數學言語が自然現象の解明に多大の寄與をしてきたことは、科學史を繙けば直ちに了解できることで、「古典力學、相對論、量子力學、熱力學、宇宙論」や「生命化學、遺傳子工學」など、極大世界から極小世界まで、その至るところに顔を出す「數學」は、まことに心躍らせるものがあります。
 たとえば、「フーリエ級数」の創始者フーリエ(1772〜1837)は、彼の有名な『熱の解析的理論』の序文で「熱は、重力と同様に、宇宙の全物質を貫く。その放射は空間のあらゆる部分を占める。われわれの著作の目的は、この熱といふ元が從ふ數學法則を明らかにすることである。この理論は、今後、一般物理學のもつとも重要な一分野となるであらう」(吉川敦著『フーリエ現代を担保するもの』)と述べてゐますが、熱現象を數學的に解明せんとする、フーリエの滿々たる野心の傳つてくる文章です。「フーリエ級数」によつて、私たちは様々な直線や曲線を「無限個の三角関数の和」で表現することが可能になりましたが、フーリエ解析は現代の「通信理論」にはもちろんのこと、私たちが日常的に利用してゐるCDの音楽やDVDの映像などにも不可欠のものとなつてゐます。
 のみならず、「數學的思考法」は法學にも顔を覗かせ、「國際法の祖」と言われるフーゴ・グロティウス(1583〜1645)は、『戦争および平和の法』の「諸論第58節」で次のように語つてゐます。

  あたかも數學者たちが、彼らの數學を具體的な實態から抽象されたものとして取り扱ふやうに、私は法を取り扱ふ場合に私の心をいかなる個別的な事實からも引き離してきてゐるといふことを、わたくしは、いささかも嘘僞ることもなく、確言する。

 まことに天晴なmanifestoですが、グロティウスは第39節では次のやうにも述べてゐます。―「わたくしが關心事としてきたのは、自然法にかかはる事物の證明を、疑問の餘地のないやうなある種の基本的な概念に向かつて求めるといふことである。さうすれば、誰も自分自身に背反することなしにはそれらの證明を否認することができなくなるからである」と。私は、その昔この箇所を讀んだとき、グロティウスとほぼ同時代人のデカルト(1596〜1650)の『方法序説』第2部の「數學の問題から得ようと期待したのは、私の精神がいつも真理を糧とし、僞りの推論には甘んじないといふ習慣を得るため」といふ言葉を直ちに想起しましたが、「法」と「數學」とのアナロジカルな思考法は、こんなところにも發見することができるのです。
 數學と自然科學、社會科學、人文科學との關係について考へゆくとそれこそ議論百出の様相を呈しますが、政治、經濟分野と數學に關しても、たとへばウィリアム・ぺティ(1622〜1687)の『政治算術』のやうな著作が思ひ浮かびます。これはオランダやフランスと自國イギリスとの國力比較のために書かれたもので、この本には「土地の大きさと價値、人民、建築物、農業、製造業、商業、漁業、工匠、海員、兵士、公収入、利子、租税、餘剩金利、登記制度、銀行、人間の評價、海員および民兵の増加、港、位置、船舶、海上權力などに關する論説」といふ、實に長い副題がつけられてゐます。かうした多くのテーマがすべて數學と關はつてゐるわけで、數學の射程の廣大さが思ひ遣られます。
 話が脱線しましたが、當日の講演では、私は上で少し述べてきたやうな問題には、一切觸れませんでした。なぜなら、私の子供時代からの數學への嘘僞りのない切實な關心は、前回の圖式の右列に掲げた「人間、精神、身體」との關はりにあつたからです。
                   (河田直樹・かはたなほき)
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2017年04月09日

數學における言語(その11) 數學を取り巻く外觀圖 河田直樹

 昨年(2016年)11月に、「日本ライプニッツ協會第8回大會」が東大の本郷キャンパスで行はれ、實は私も「ライプニッツの普遍數學と私の數學觀−言葉・無限・連續」といふう演題で講演を行ひました。
2010年に私は少年時代から強い關心を持つてゐたライプニッツについて『ライプニッツ普遍數學の旅』(現代數學社)といふ本を上梓しました。そのお陰で、私はライプニッツ協会の名ばかりの会員になつてしまひ、「數學の話ならば何でもよい」といふことで、これまで講演を幾度か依頼されてゐたのですが、今回は逃げ果すことができなくて、およそアカデミズムの缺片もない與太話(本人にとつては結構深刻なテーマなのですが)を、哲學の専門家を前に披瀝することになつた次第なのです。
 それはともかく、これから數回に亘つて、そのときの滑稽な與太話にお付き合ひ願ひたいと思ひますが、結論を先に申し上げれば「私にとつて、數學を學ぶのは數學それ自體のためではなく、人間精神研究のため」であり、そして「もし人間の精神(?)が絶對的、超越的『無限』を認めなければ、全解析學(微分積分方面の數學)は崩壊し、すべて失はてしまう」といふものです。結論は實に簡單なことですが、この私の主張の眞意を理解してもらふためには、やはり少し準備が必要です。
おそらく、世の中のほとんどの人の數學への關心は「役に立つ」といふ一點にあり、多くの數學教師や數學者も含めて、「數學?そりゃ、この高度に進んだ科學技術の時代だもの、いろんなところで日々役に立つてゐるに決まつてゐるさ」といつた認識をお持ちではないかと思ひます。もちろん、中には「數學至上主義者」と言はれる人もゐて、純粹數學をそれ自身のために研究し、その中に「美とか詩とか」と言はれる、そんな藝術的側面を発見して、密やかな悦びを見出してゐる數學者もゐます。
私もこのやうな考へを認めるのに吝かではありませんが、私自身の數學への関心は「實用」でもなければ「藝術」でもありません。このあたりの事情に薄々氣付いてゆくのは、高校生の頃ですが、話を急ぐのはやめて、まず下の図式を眺めて下さい。

mateshi0409.jpg
 
上図は、「數學あるいは普遍數學(これについての解説は今は措く)」と私たちの世界の樣々な事物との關はりを示した概觀圖で、左上に「自然」と書かれてゐますが、その内容は言ふまでもなく「自然科學」と言はてゐる「物理學、化學、生物學、地學、天文學、・・・」などを包括する學問群を指し、一方その下に書かれてゐる「社會」は「法學、政治學、經濟學、歴史學、・・・」などの「社會科學」を指してゐます。また、「自然・社會・人間」と書かれてあるところには、「統計、工學、人工知能、宗教、倫理學、醫學、文學、言語學、藝術、建築・・・」など、自然・社会と人間とが鬩ぎ合ふところに生まれた學問領域を指してゐます。
 ともあれ、私は上の圖式を提示して、開口一番話したことは「私は、實は數學と自然科學、社会科學、あるいは工學や人工知能との關はりにはほとんど興味がない」といふことでした。では、なぜ數學を學ぶのか?それは「人間精神を研究するため」と、來聽者のほとんどの人たちを裏切る、中世の‘非科學的’な神學者のやうなことを口にしたものだから、實はそれで大いに笑ひを取ることができました。おまけに、私は數學の核心は「非合理だ」などとも言つてしまひました。
                   (河田直樹・かはたなほき)
posted by 國語問題協議會 at 11:34| Comment(0) | 河田直樹

2017年03月12日

數學における言葉(その10) 西洋への憬れと誤解

數學における言葉(その10) 西洋への憬れと誤解

 福沢諭吉は『文明論之概略』で、「苟も一國文明の進歩を謀るものは、歐羅巴(ヨーロッパ)の文明を目的として議論の本位を定め、この本位に據りて事物の利害得失を談ぜざる可からず」と警鐘を鳴らしてゐますが、日本は明治以來「脱亞入歐」を國是とし、「西洋に追ひつけ、追ひ越せ」と、歐羅巴の「文物や科學技術」を取り入れるのに急であつたことは、今さら確認するまでもないことでせう。
 さうした時代の流れを反映して、明治、大正期の多くの知識人たちが、歐羅巴に憧れ、また實際に洋行してかの地の現實に直接触れてきたこともよく知られてゐます。若き日にボードレール、ワイルド、ポオなどから影響を受けた谷崎潤一郎、亞米利加、佛蘭西に遊び『あめりか物語』『ふらんす物語』を殘した永井荷風、山本夏彦の『無想庵物語』(この小説には抽象代數學者園正造も登場する)の主人公武林盤雄などもその代表選手です。また「ふらんすへ行きたしと思へども/ふらんすはあまりに遠し」という佛蘭西へのあられもない憧憬を詠つた萩原朔太郎もさうした一人でした。かうした人たちは、おそらく當時の平均的な庶民の羨望の的であり、それはそのまま庶民たちの「便利で豊かな西洋文明」への憧れに繋がつてゐたに違ひありません。
 しかし、ここで少し考へてみたいことは、多くの洋行者たちが歐米から何を得、何を持ちかへつてきたのか、といふ問題です。少々荒つぽいことを言へば、それは幕末以來、その表面的な華やかさで日本人を幻惑し續けた「洋才」だけだつたのではないか、すなはち「すぐに役に立つ(今もこの言葉は本のタイトルなどで亂用されてゐる)」功利的實利的學問のみではなかつたのか、といふことです。もちろんそれが一概に惡いことだとは私も思つてゐませんし、さうしなければ、日本は歐米列強の餌食にされてゐたことでせう。
しかし、私は、多くの知識人たちは歐羅巴文明あるいは文化の根底に潜む精神や魂の「役に立たない」淵源について長い間語つてこなかつたやうな氣がしてゐます。イタリアのイエズス会の宣教師マテオ=リッチのユークリッドの「幾何学原論」の飜譯は、享保年間にはすでに我が國に入つていましたが、和算家たちはユークリッド流の嚴密な論理による証明法にはほとんど關心を示してゐませんし、また志筑忠雄の『歴象新書』でニュートン力學の形で紹介された西洋數學にも、注意を拂つてゐません。おそらく「すぐに役立つ」と考へなかつたからでせうが、歐羅巴の知識人たち(サッケリーもその一人)が、原論の第5公理(平行線の公理)を、2000年以上に亘つて考へ續け、つひに「非ユークリッド幾何學」を創出するに至るなど夢想だにしなかつたでせう。「役に立たない」問題を千年、二千年に亘って考へ續ける、ここに歐羅巴文化の淵源と精髄、そして魂があることを、私たちは忘れてはなりますまい。
「欧米に追ひつけ、追ひ越せ」といふスローガンは、私が子供の頃の昭和30年代においてもよく言はれてゐたことですが、その一方で佐久間象山以來の「和魂洋才」といふ言葉もしばしば耳にしたものです。「魂は東洋、技術は西洋」といふわけです。しかし、なぜこんなことを言ふ必要があつたのでせうか?もちろん「和魂」には和魂の素晴らしさがありますが、歐羅巴の魂が多少でも理解されてゐれば、こんな夜郎自大的な言擧げはしなかつたはずです
 アメリカ、フランスに遊んだ荷風は結局江戸趣味に引きこもり、ポオに親しんだ大谷崎も日本の古典美に囘歸するほかはありませんでした。谷崎はポオとは異なり「無限はある観念ではなく、ある観念への努力を表現するものである。(中略)。人はこの努力に名を與へることを必要としたので、『無限』といふ言葉が生まれた」(『ユリイカ』谷崎精二譯)といつたやうな「形而上的、抽象的、普遍的」な言葉は決して書き殘さなかつたのです。ちなみに、私は、西洋文化の普遍的精神のその淵源を眞に了解してゐた我が國の例外的知識人は、福田恆存ただ一人ではなかつたか、といふ氣がしてゐます。     (河田直樹・かはたなほき)
posted by 國語問題協議會 at 23:07| Comment(0) | 河田直樹