2016年12月25日

數學における言葉(その七) 論証としての数学の根源にあるもの 河田直樹

論証としての数学の根源にあるもの
 「数論」と言はれる分野に、小学生でもその問題の意味が理解できる未解決問題があります。「双子素数(twin prime number)」についてのもので、たとへば、(3,5)、(5,7)、(11、13)、(「17、19」、(29、31)のやうに、隣り合ふ2つの奇数がともに素数であるとき、その2数を双子素数と言ひますが、この「双子素数が無限に存在するか否か」は、現在でも分かつてゐません。2001年における最大の双子素数は、
    〖318032361×2〗^107001±1
で、これはおよそ3万2千桁の数です。素数自身が無限個存在することは、すでに2000年以上も前にユークリッドの『原論』第9巻命題20できちんと示されてゐますが、たとえ3万桁以上の「双子素数」が見つかつたとしても、傲岸不遜な数学者は「たかが3万桁」と思つてゐます。
 いまひとつ、誰にでもその意味が分かる有名問題に「ゴールドバッハの問題(Goldbach’s problem)」と言はれてゐるものがあります。これは「6以上のすべての偶数は2つの奇素数(奇数の素数)の和である」という予想で、たとへば「6=3+3、8=3+5、10=3+7、12=5+7、14=3+11」といつた具合に、です。もちろん、和の形は「10=5+5」と表すこともできて、2数の和の形は唯一通りに定まるわけではありませんが、とにかく2つの奇素数の和になる、と主張してゐるのです。
この問題は、1742年にゴールドバッハといふ人が、レオンハルト・オイラーへの手紙の中で述べた予想です。私が小学生の頃は6から10万までの偶数については確認されてゐましたが、それから40年後の2001 年には、およそ400兆までの全ての偶数について確かめられてゐます。しかし、これについてもいささか極端なことを言へば、数学者たちは「10万」も「400兆」も大差ないと感じてゐます。なぜなら、「すべての自然数」についての“最終結論”ではないからです。
数学以外の“自然科学”であれば、3万桁あるいは400兆まで調べれば、そこから躊躇ふことなくある結論を導き出すに違ひありません。数学以外の科学では、実験や調査などから得られる膨大なデータこそが何よりも大切で、それに依拠してある判断を下してゐます。しかし、数学ではそのやうなことは一切許されません。それが、確実な証明を追ひ求める古代希臘数学の精髄であり、その魂と精神とを受繼ぐ現代数学の有り様なのです。ハムレットの「言葉、言葉、言葉」ではありませんが、「証明、証明、証明」なのです。 
 では、その執拗な「証明への衝動」は、いつたいどこから生まれてきてゐるのでせうか。私自身は、この証明への衝動を決して「理性的」な態度とは思つてゐません(もつとも「理性的」といふ言葉の定義は曖昧ですが)が、ともあれ、さうした衝動の根源にあるものはいつたい何なのでせうか。唐突ですが、この問題に関連して私がいつも思ひ出すのは、稲垣足穂(1900〜1977)の『弥勒』のテーマである「お終いの雰囲気」です。ここには以下のやうな記述が見られます。

  彼は何であっても、「物事のお終い」が大好きであったからだ。すなわちそこにある、どこか遠方へ出発する前夜のような、それとも取り片づけを終へて何かを待つばかりになつたとでも言ふやうな、静かな一刻に憧れてゐたからだ。(中略)あの真鍮の砲弾が普通の世紀末ではないのと同じ意味で、「わが終末論」については、いつかは人々に説明できることであらう。今のところ江美留は、―何事であれ、自分はお終ひの気分が大好きなのだ、と言つておくより他はない。

 足穂の語る「お終いの気分」については、次回でもう少し突つ込んで述べてみたいと思ひますが、ともかくこの「お終いの気分」と「証明への衝動」とが深く繋がつてゐるといふ直観を、私はいまもつて捨てることができません。          (河田直樹・かはた なほき)
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2016年11月27日

数学における言葉(その六)

數學における言語(その6) 希臘数学の独創

 オズヴァルト・シュペングラー(1880〜1936)の『西洋の没落』は、「ゲーテから方法を得、ニーチェから問題を得て」書かれた「文明の形態比較論」ですが、その第1章は「数の意味についての考察」から開始されます。そこで述べられてゐることは、一般的に“普遍的”だと考へられてゐる“数学”にも、各文明圏に応じたさまざまな特徴があって、その代表的なものに「エジプト数学、ギリシア数学、ローマ数学、アラビア数学、インド数学、シナ数学」などがある、といふものです。もちろんこの中には我が国の「和算」も入れていいかと思ひますが、これらの数学の中で、現代の数学に通ずる著しい特徴を持っているのが、前回の最後に述べた「論証としての数学」の濫觴である希臘のそれです。
 『ピタゴラスから電子計算機まで』(板倉聖宣編・国土社)といふ本は私の子供の頃の愛読書でしたが、そこには次のやうな主旨の記述があります。すなわち、3つ辺の長さが(3、4、5)、(5、12、13)、(7、24、25)、(8、15、17)、(12、35、37)のような場合、それが「直角三角形」になることは、エジプト人もバビロニア人も、そしてインド人も大昔から知ってゐた、のみならず、直角三角形の3つの辺(a,b,c)の間にいつも“a^2+b^2=c^2”に違ひない、という結論さへ下してゐた、しかし「ほんたうに、いつもそんなことが言へるのだらうか?確かな証拠があるのだらうか?」といふ疑問を持ち、それに見事にこたへたのがひとりギリシア人であった、といふものです。
 哲学者下村寅太郎(1902〜1995)は、「数学の形而上学的系譜」といふ論文で「支那数学」や「和算」にも触れて次のやうに述べてゐます。

  支那数学や後代の和算においてすら、我々が一般にギリシア的数学以外の文献に見るものは、その問題の高度や秀抜なるにかかはらず、単に具体的な問題とその解法に止まり、問題の解法の一般的な解法に対する省察がない。このことはさらに一般化して言へば、証明方法の純粋に論理的な構造の探究や反省の欠如である。これの欠如するところでは完結した体系的業績は存しない。個々の問題の蒐集が存するのみである。

 まことに示唆に富む指摘で、希臘以外の文化圏の数学は単なる経験から生まれる個々の問題の集積であり、そこには問題の一般化や証明に対する志向性がない、といふわけです。
言論による論証によって“a^2+b^2=c^2”が成り立つ(いわゆる「ピュタゴラスの定理(三平方の定理)」ことを示したのは、希臘人ですが、ここで大切なことは、「どのような直角三角形についても」といふことで、これを言ひ換へれば「すべての直角三角形について、a^2+b^2=c^2が成り立つ」
といふ「全称命題」の証明を問題にしてゐる点です。本連載の「その2」で取り上げた「直径ABの円周上の、A、B以外のどのような点Pをとっても(とはつまり、円周上の“無限個”の点Pに対して)∠APB=90°が成り立つ」といふのも「全称命題」であり、このやうな命題を言論によって明らかにすることが、希臘数学の独創なのです。 
 下村氏は「数学の成立こそは人間の文化の歴史における異常な事件である。まさしく世界史的事件である」と喝破してゐますが、言ふまでもなく、ここで言ふ「数学」とは「論証としての数学」であり、これは決して大袈裟な物言ひではありません。「数へる」「量る」の延長線上に生まれる「単なる技術知としての数学」はおよそいかなる段階のいかなる社会においても存在しましたが、「論証としての数学」を形成したのは、ひとり古代希臘人のみでした。
 ところで、このやうな希臘人の志向性は、いったいどのやうな魂あるいは精神性によるのでせうか。次回は、この点について少し考へてみたいと思ひます。
                    (河田直樹・かはたなほき)
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2016年10月24日

數學における言葉(その5)ソクラテスの論理 河田直樹

 ソクラテスは徹頭徹尾「論理の人」である、と前回述べましたが、ソクラテスの「論理」を具体的に知るには、プラトンの初期の対話篇『エウテュプロン―敬虔について』(今林万里子訳・岩波書店)を読んでみるのが一番です。ここでは、ソクラテスとエウテュプロンの対話の論理に関するエッセンスだけを、以下に簡単に紹介しておきます。
 ソクラテスは、エウテュプロンとの対話で、ある詩人の「恐れあるところまた敬いもある」という詩句を取り上げ、この言い方は論理的に正しくない、なぜなら、「恐れの対象の範囲」は「敬いの対象の範囲」より広いからで、したがって「敬いのあるところまた恐れもある」とすべきだ、と指摘するのです。そして、これはちょうど「奇数(=敬いの対象)が自然数(=恐れの対象)の一部である」のと同じことだ、と数論の喩えを持ち出して説明するのです。
すなわち、詩人の詩句は「Xが自然数(=恐れの対象)であれば、Xは奇数(=敬いの対象)である」と誤った判断を述べていて、正しくは「Xが奇数(=敬い)ならば、Xは自然数(=恐れ)である」という判断をすべきだ、とソクラテスは述べているのです。
ここで、自然数とは1、2、3、4、5、・・・のような数であり、奇数とは言うまでもなく2で割り切れない数、すなわち1、3、5、・・・のような数です。ソクラテスが問題にしているのは、「Xが自然数であれば、そのXは必ず奇数と判断してよいか」という問題で、ソクラテスはこのような判断は誤りだ、と述べているのです。実際、Xが自然数4であるとき、その数は奇数とは言えません。しかし、Xが奇数3であれば、それは必ず自然数である、と断定することはできます。
このような論理的思考の背景にあるのは、モノゴトの集まり(集合)の包含関係ですが、上で述べてきたことを分かりやすく図示すると、以下のようになります。

kahada05.jpg
言うまでもなく、恐れや敬いの対象の集まりを、自然数や奇数の集合のように厳密に規定することは難しいことかもしれませんが、ソクラテスの上のような数論との対比的な指摘は、やはり驚くべきことです。
 なお、ソクラテスは論理の極北を目指した人でしたが、またそれゆえに彼は論理の“あや”の生み出す真のユーモアを解する人物でもありました。ここで、話を脱線してこのソクラテスの“ユーモア”について縷々語ってみたいのですが、またの機会にゆずりたいと思います。
プラトンによって伝えられたソクラテスのこのような論理が、やがてアリストテレス(384〜322B.C)の「オルガノン(=道具)」と呼ばれる、論理学に関する一連の著作に結実していくことはよく知られています。「全称肯定(すべてのXはFである)」とか「特称否定(あるXはFでない)」といった概念を確立したのはアリストテレスで、彼の論理分析は詳細をきわめ、カントが『純粋理性批判』の序文で「論理学はアリストテレス以来、一歩の進歩も一歩の退歩もなかった」と評しているのは有名な話です。とは言え、これはいささか極端な話で、クリシッポス(281〜205B.C)、ガレヌス(129〜199)、ボエティウス(480〜524)、アベラール(1079〜1142)、オッカム(1295〜1340)といった人たちがアリストテレス以来の論理学の発展に寄与してきたこともよく知られています。
ともあれ、古代希臘において論理学が確立されたことは間違いないことで、それと相俟ってユークリッド(330?〜275B.C)の『原論( ・ストイケイア)』が書かれることになるのです。それは人類史における奇跡的な「論証としての数学」の誕生でもありました。
                   (河田直樹・かはたなほき)
posted by 國語問題協議會 at 13:26| Comment(0) | 河田直樹